Rumus detA dan detB ?

Pertanyaan:

Rumus detA dan detB ?

Rumus determinan suatu matriks (det) bergantung pada ukuran matriksnya. Berikut adalah rumus untuk matriks berukuran umum yang biasanya dilambangkan dengan A dan B:

Untuk matriks 2×2, rumus perhitungannya sangat sederhana. Misalkan matriks A cap A A adalah:

A = ( a b c d ) cap A equals the 1 by 3 row matrix; Column 1: a, Column 2: b space c, Column 3: d end-matrix; A = ( a b c d )

Rumus detA:

det ( A ) = a d − b c det of open paren cap A close paren equals a d minus b c d e t ( A ) = a d − b c

Contoh: Jika B = ( 3 1 2 4 ) cap B equals the 1 by 3 row matrix; Column 1: 3, Column 2: 1 space 2, Column 3: 4 end-matrix; B = ( 3 1 2 4 ) , maka det ( B ) = ( 3 × 4 ) − ( 1 × 2 ) = 12 − 2 = 10 det of open paren cap B close paren equals open paren 3 cross 4 close paren minus open paren 1 cross 2 close paren equals 12 minus 2 equals 10 d e t ( B ) = ( 3 × 4 ) − ( 1 × 2 ) = 1 2 − 2 = 1 0 .

Untuk matriks 3×3, perhitungannya melibatkan penjumlahan dan pengurangan perkalian elemen-elemennya. Misalkan matriks A cap A A adalah:

A = ( a b c d e f g h i ) cap A equals the 1 by 7 row matrix; Column 1: a, Column 2: b, Column 3: c space d, Column 4: e, Column 5: f space g, Column 6: h, Column 7: i end-matrix; A = ( a b c d e f g h i )

Rumus detA:

det ( A ) = a ( e i − f h ) − b ( d i − f g ) + c ( d h − e g ) det of open paren cap A close paren equals a open paren e i minus f h close paren minus b open paren d i minus f g close paren plus c open paren d h minus e g close paren d e t ( A ) = a ( e i − f h ) − b ( d i − f g ) + c ( d h − e g )

Metode ini juga dikenal sebagai ekspansi kofaktor, di mana setiap elemen baris pertama dikalikan dengan determinan sub-matriks 2×2 yang tersisa dan tandanya bergantian (+, -, +).

Alternatif lain, Anda dapat menggunakan Aturan Sarrus dengan menambahkan kembali dua kolom pertama di sebelah kanan matriks, lalu menjumlahkan perkalian diagonal utama dan mengurangkan perkalian diagonal samping.

Untuk matriks berukuran 4×4 atau lebih besar, digunakan Ekspansi Kofaktor (atau ekspansi Laplace) secara berulang. Anda dapat memilih baris atau kolom mana saja, lalu menggunakan rumus umum:

det ( A ) = ∑ j = 1 n ( -1 ) i + j a i j M i j det of open paren cap A close paren equals sum from j equals 1 to n of open paren negative 1 close paren raised to the i plus j power a sub i j end-sub cap M sub i j end-sub d e t ( A ) = n j = 1 ( − 1 ) i + j a i j M i j

di mana a i j a sub i j end-sub a i j adalah elemen pada baris i i i dan kolom j j j , dan M i j cap M sub i j end-sub M i j (minor) adalah determinan dari sub-matriks yang diperoleh dengan menghapus baris i i i dan kolom j j j .